שאלות פסיכומטרי לדוגמה

תשובה (2) נכונה.

דרך א' – מכנה משותף וכפל מקוצר:
נכתוב את הביטוי כשבר אחד:$\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} = \frac{x^2 + y^2}{x^2 y^2}$את המכנה מקבלים ישר מהנתון:$x^2 y^2 = (xy)^2 = 4^2 = 16$את המונה מקבלים מנוסחת ריבוע הסכום:$(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$$36 = x^2 + y^2 + 8$$x^2 + y^2 = 28$ולכן:$\frac{28}{16} = \frac{7}{4}$

דרך ב' – אותה נוסחה על ההופכיים (מהירה):
קודם נחשב את סכום ההופכיים:$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{x + y}{xy} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$נעלה אותו בריבוע ונוריד את האיבר האמצעי:$\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 - \frac{2}{xy}$$\frac{9}{4} - \frac{2}{4} = \frac{7}{4}$

בדיקת שאר התשובות:
(1) $\frac{3}{2}$ – זהו סכום ההופכיים $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$, בלי הריבועים.
(3) $\frac{9}{4}$ – מתקבל כששוכחים את האיבר האמצעי $2xy$ ומניחים ש-$x^2 + y^2 = 36$.
(4) $7$ – מתקבל כשמחלקים את $28$ ב-$xy = 4$ במקום ב-$(xy)^2 = 16$.

טיפ: אין צורך למצוא את $x$ ואת $y$ עצמם (הם אפילו לא שלמים). הסכום והמכפלה מספיקים.

תשובה (3) נכונה.

דרך א' - פתרון מתמטי

הנתון היחיד שמקשר בין שתי האפשרויות הוא הפרש הזמנים ביניהן: הנסיעה האיטית מסתיימת $10$ דקות אחרי שעת היעד והמהירה $10$ דקות לפניה, ולכן ההפרש בין שני זמני הנסיעה הוא $20$ דקות, שהן $\frac{1}{3}$ שעה.

נסמן ב-$D$ את המרחק. זמן הנסיעה האיטית הוא $\frac{D}{60}$, זמן הנסיעה המהירה הוא $\frac{D}{90}$, וההפרש ביניהם הוא $\frac{1}{3}$ שעה:$\frac{D}{60} - \frac{D}{90} = \frac{1}{3}$

נכפול את שני האגפים ב-$180$:$3D - 2D = 60$$D = 60$

דרך ב' - הצבת תשובות

טיפ: בהצבת תשובות כדאי להתחיל מהתשובות הנוחות יותר לחישוב. נתחיל מתשובה (3), שמתחלקת יפה גם ב-$60$ וגם ב-$90$.

נבדוק את תשובה (3): במהירות $60$ קמ"ש הנסיעה תארך $\frac{60}{60} = 1$ שעה, ובמהירות $90$ קמ"ש היא תארך $\frac{60}{90} = \frac{2}{3}$ שעה, כלומר $40$ דקות. ההפרש הוא $20$ דקות — מתאים.

טיפ: מכיוון שהצבנו את התשובות, ברגע שמצאנו תשובה נכונה אין צורך להמשיך לבדוק את שאר התשובות.

שימו לב: אם משתמשים ב-$10$ דקות במקום ב-$20$ מתקבל $D = 30$ — זו המלכודת שבתשובה (1). ההפרש הוא $10$ דקות בכל כיוון, כלומר $20$ דקות בין שתי הנסיעות.

תשובה (2) נכונה.

השטח המבוקש הוא הפרש שטחי שני המעגלים, ולכן צריך את שני הרדיוסים. שניהם נגזרים מאותה צלע.

הרדיוס החוסם. המשושה מורכב מ-$6$ משולשים שווי-צלעות שקודקודם במרכז, ולכן הרדיוס שווה לצלע:

$R = 4$

הרדיוס החסום. זהו האנך מהמרכז לאמצע הצלע, כלומר גובה באותו משולש שווה-צלעות:

$r = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$

וההפרש:

$\pi R^2 - \pi r^2 = \pi(16 - 12) = 4\pi$

טיפ: במשושה משוכלל, ורק בו, הרדיוס החוסם שווה לצלע. זו נקודת הפתיחה של כמעט כל שאלת משושה ומעגל.

מסיחים שכיחים:

- תשובה (4), $16\pi$ - שטח המעגל החוסם בלבד.
- תשובה (3), $12\pi$ - שטח המעגל החסום בלבד.

תשובה (2) נכונה.

משפט מקשר: X הוא כלי שממנו Y שותה ישירות.

שוקת : פרה — שוקת (אבן חצובה למי שתייה) היא כלי שממנו הפרה שותה ישירות.

(1) מרזב : גשם — המרזב (צינור ניקוז מהגג) מוליך את הגשם (זרימה, לא שתייה) — זה לא זה.
(2) בקבוק : תינוק — הבקבוק הוא כלי שממנו התינוק שותה ישירות — זה זה.
(3) אבוס : סוס — האבוס (תיבת המספוא) הוא כלי שממנו הסוס אוכל, לא שותה — זה לא זה.
(4) מזלף : צמח — במזלף (כלי השקיה) שופכים מים על הצמח, הצמח אינו שותה מהכלי. ומי שאוחז בכלי אינו משנה: גם את השוקת הפרה אינה אוחזת — זה לא זה.

תשובה (1) נכונה.

המשפט המלא:
"למרות שאלעד נודע כחוקר יסודי המקפיד על כל פרט ופרט, עבודתו האחרונה התגלתה כשטחית. לפיכך, עמיתיו אשר תמיד שיבחו את רצינותו המקצועית, התפלאו למקרא המסקנות המרושלות שהציג."

איך פותרים:
1. מאתרים את מילות הקישור הקבועות: "למרות ש" מבטיחה ניגוד בין המוניטין לבין העבודה בפועל, ו"לפיכך" גוזרת מן הניגוד הזה את תגובת העמיתים.
2. מתמצתים את השלד: אלעד ידוע כמדקדק בפרטים ← עבודתו האחרונה יצאה מרושלת ← ולכן העמיתים שהעריכו אותו תמיד הופתעו.
3. נצמדים למילים שכבר כתובות: "המקפיד על כל פרט ופרט" קובע שההשלמה הראשונה חיובית (יסודי או דקדקן), ו"המסקנות המרושלות" קובעות שהעבודה גרועה (שטחית או חובבנית). שתי הבדיקות משאירות את (1) ואת (3), וההכרעה נופלת כולה על ההשלמה האחרונה: מי שהעריכו את רצינותו חייבים להיות מופתעים מרשלנות פתאומית.

פסילת תשובות:
(1) נכונה: חוקר יסודי ← עבודה שטחית בניגוד למצופה ← ולכן פליאת העמיתים ששיבחו אותו תמיד.
(2) נפסלת: רשלן סותר חזיתית את "המקפיד על כל פרט ופרט", ועבודה מעמיקה אינה יכולה להיות זו שממנה עולות "המסקנות המרושלות".
(3) נפסלת: שתי ההשלמות הראשונות אפשריות, אך מי שתמיד העריכו את רצינותו המקצועית של אלעד לא ייתכן שלא הופתעו למקרא מסקנות מרושלות שלו.
(4) נפסלת: פזיז אינו מתיישב עם ההקפדה על כל פרט, ועבודה יסודית אינה מולידה מסקנות מרושלות.

תשובה (1) נכונה.

דרך הפתרון: כדי לחזק את ההסבר מחפשים נתון ששולל מקור אחר לגידול: אם בשאר בתי הקולנוע לא היה גידול, הוא בא מהאולם החדש.

הנתון והמסקנה:
- נתון: במאי נמכרו יותר כרטיסים, ונפתח אולם חדש
- מסקנה: רוב הגידול נובע מהאולם החדש
- ההנחה: הכרטיסים הנוספים נמכרו באולם החדש, ולא בבתי הקולנוע הוותיקים

התשובה המתאימה: (1) בבתי הקולנוע הוותיקים בעיר נמכרו במאי כמעט אותו מספר כרטיסים כמו באפריל — אם בבתי הקולנוע הוותיקים המכירות לא השתנו, הגידול בעיר הגיע כמעט כולו מהאולם החדש.

בדיקת התשובות האחרות:

(2) בהשוואת ימים מקבילים, רוב הגידול בין אפריל למאי נרשם כבר ב־1–14 במאי — מחליש · דוגמה סותרת. רוב הגידול התרחש לפני שהאולם החדש נפתח, כלומר גידול בלי הגורם שהמנהל מצביע עליו.

(3) במאי חולקו קופוני הנחה רק לאולמות הוותיקים, ובהם נרשם רוב הגידול במכירות — מחליש · הסבר חלופי. הקופונים הם סיבה אחרת לגידול, והגידול אכן נרשם באולמות שבהם חולקו.

(4) מחירי הכרטיסים באולם החדש זהים למחירי הכרטיסים באולמות הוותיקים של הרשת — לא משפיע · לא נוגע למאזן. מחיר זהה אינו אומר דבר על השאלה היכן נמכרו הכרטיסים הנוספים.

מלכודת: האפשרות על הימים 1–14 במאי נראית כמו פירוט של הגידול שהמנהל מדבר עליו. אבל היא מראה שרוב הגידול קדם לפתיחת האולם, ולכן היא מחלישה.